月面でジャンプ                                            岡森利幸   2013/4/7

                                                              　　　　R1-2013/4/8

小松左京の子ども向けのＳＦ小説で、地球から来た少年が月の基地内でおもいっきり跳び上がったら、その天井に頭をぶつけてしまい、気絶してしまった、という話がある(「地球からきた子」、講談社文庫『宇宙人の宿題』に収録)。月では重力が１／６だから……、という説明だ。月では高く跳び上がれるのは確かだが、定量的にはどのくらいの高さになるだろうか、単純に６倍の高さに跳び上がれると考えていいものだろうか、という疑問を私は抱いた。小松氏はその高さを示していなかったから、私は具体的に、地上（地球上）で垂直に５０センチ跳び上がれる人は月ではどのくらい跳び上がれるものだろうか、と計算してみたくなった。

５０センチ跳び上がれる人（Ｐ氏）の体重をｎキログラムとしょう。そのジャンプ力で月の上で跳ねたとしたら、何メートルの高さに到達するかが問題である。

Ｐ氏のジャンプ力をまず計算する必要がある。Ｐ氏は頭の高さの基準線より５０センチ跳び上がることから、ジャンプ力が求められそうだ。ジャンプするためには、ひざを屈伸する。Ｐ氏がひざを曲げると、体は３０センチ沈み、そして伸び上がるときに一定の加速度で加速すると仮定する。Ｐ氏がひざの屈伸で跳び上がる加速力の大きさが、ジャンプ力ということになる。Ｐ氏がひざを伸ばしきった位置、つまり基準線においては、跳び出すときの初速を得る。その勢いで頭上に跳び上がることになる。速度・加速度と移動距離の関係の積分方程式を応用すると、以下のように問題が解ける。

 

基準線から跳び上がる速度ｕ１について、初速をａ１ ［ｍ／ｓ］とすると、その後は重力によって時間ｔの経過と共に減速される。それは次の式で表される。

ｕ１＝ａ１−ｇｔ　………（１）

最高点に達するのは、ｕ１＝０になるときだ。その時間をｔ0すると、地上の重力はｇ＝９．８ ［ｍ／ｓ²］だから、

０＝ａ１−９．８ｔ0

∴ｔ0＝ａ１／９．８

高さ（ｈ）は、跳び上がる速度ｕ１の積分式で表される。

ｈ＝∫（ａ１−ｇｔ）ｄｔ

＝ａ１ｔ−１／２・ｇｔ²　………（２）

（２）に ｈ＝０．５と、t＝ｔ0 を代入すると、Ｐ氏の地上での跳び上がり速度ａ１が求められる。

ａ１２＝９．８

ａ１≒３．１３　[m/s]

次に、Ｐ氏がひざの屈伸ジャンプによって上昇するときの加速度Ｆ１について考察する。ｔ１をその加速時間とすると、初速ａ１とＦ１には次の関係がある。

ａ１＝Ｆ１ｔ１　………（３）

すなわち、ｔ１＝ａ１／Ｆ１

ひざを屈伸する移動距離ｈ１は、その加速度を積分した値に等しい。

ｈ１＝∫Ｆ１ｔ・ｄｔ

ｈ１＝１／２・Ｆ１ｔ²

ｈ１＝０．３ と ｔ１＝ａ１／Ｆ１を代入して、Ｆ１を求めると、

Ｆ１＝（１／０．６）ａ１２

≒１６．３３

なお、Ｐ氏の実際のジャンプ力(加速度）Ｆ0は、Ｐ氏の体に重力ｇがかかっているから、Ｆ１に重力を加えたものである。（言い換えれば、Ｆ0にｇを差し引いた加速度が、Ｆ１である。）

Ｆ0＝Ｆ１＋ｇ

Ｆ0≒１６．３３＋ｇ

≒２６．１３　[m/s２]

　　　　　　　

月面上で、Ｐ氏が同様に３０センチのひざの屈伸で得られる初速ａ２を求めよう。ジャンプによりＰ氏の体が上昇するための加速Ｆ２は、同様に、月の重力ｇ２〔地球の重力の１／６、ｇ２＝（１／６）ｇ〕によって減じられる。

Ｆ２＝Ｆ0−ｇ２≒２６．１３−１／６・ｇ

≒２４．５０

この上昇させる加速が３０センチの区間で行われるから、まず、その時間ｔ２を求める。

ｈ１＝∫Ｆ２ｔ・ｄｔ

０．３＝（１／２）Ｆ２（ｔ２)２

（ｔ２)２＝０．６／２４．５０≒０．２４９

ｔ２≒０．１５６５

Ｆ２とｔ２を乗算すると、ａ２が求められる。参照（３）

ａ２＝Ｆ２ｔ２＝２４．５０×０．１５６５

≒３．８３　[m/s]

月面上で、初速ａ２で跳び上がれる高さｈ２は、次の式で表される。

ｈ２＝∫（ａ２−ｇ２ｔ）ｄｔ

＝ａ２ｔ−１／２・（１／６・ｇ）ｔ２

＝ａ２ｔ−１／１２・ｇｔ２ ………（４）

速度が０になる時間ｔ３は、（１）の式と同様の考え方で、

ａ２−ｇ２ｔ３＝０

ｔ３＝ａ２／ｇ２

≒２．３４　[s]

（４）の式に、ａ２の値とｔ=ｔ３を入れて計算すると、

ｈ２≒８．９４−４．４７

≒４．４７　[m]

 

結論として、Ｐ氏は月面上で４．４７メートル跳び上がれる。地上の８．９４倍の高さである。単純見積もりの６倍を超えていることが、やや驚きである。身長１．６メートルとすれば、６．０メートルの高さの天井に頭が届いてしまうことになる。やはり、それより低い天井に頭をぶつけて気絶することは、ありえるようだ。

なお、体重は計算に含まれないので、月でのジャンプの高さに関連しないことになる。また、ひざを屈伸させての沈み込む３０センチの距離を一定（例えば、ｃメートル）としても、この問題が解けるのではないかという仮想（雑念？）が私の脳内に浮かんでくるのだが、どうだろうか。

 

 

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