予告
33.空間で，$x$軸，$y$軸, $z$軸の正の部分に点A,B,Cをとると \[ \vec{BA}\cdot\vec{BC}=BO^2 \] であることは，当たり前ですか？
32. $\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}$ のとき $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ の値を求めよ
という問題で， \[ a+b=ck, b+c=ak, c+a=bk \] をなぜ足すのと聞かれたそうです．
それは置いておいて、 \[ \dfrac{a+b+c}{c}=\dfrac{b+c+a}{a} = \dfrac{c+a+b}{b} \] であるから，$a+b+c\not=0$なら$a=b=c$という解答はありましたっけ？31.資料の整理や採点時の合計点など，具体的な計算をどうしていますか？
生徒は，何も考えずに，頭から足していく者が多いようです．
桁ごとに計算する，足して10になる組み合わせを作る， などの工夫をすると，間違いにくく結構速く計算することが出来ます．29.複素数$z$を極座標$(r,\theta)$で表すと \[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \] になります．当たり前ですが，これが役に立つ場面に遭遇しました． \[ z=\sqrt2\cos\left(\dfrac\pi4-\theta\right)(\cos\theta - i\sin\theta) \] の$0\leq\theta\leq\dfrac\pi2$における点$z$の軌跡はわかりますか？ \[ z=\sqrt2\cos\left(\dfrac\pi4+\alpha\right)(\cos\alpha + i\sin\alpha) \] と見れば，極座標で$r=\sqrt2\cos\left(\dfrac\pi4+\theta\right)$が図形の方程式です． さらに，$r=\sqrt2\cos(\theta)$を原点の周りに回転させた図形になります．
ちなみに，制限を付けたものは，1,iを結んだ線分を$w=\dfrac1z$で写した曲線です． 制限しないと，直線を写した曲線になります．
28.先日，生徒が
\[ f(x)=|x|\text{ が }x=0\text{ で連続であることを証明せよ．} \] という問題の解答の最後に，「よって関数$f(x)$は$x=0$で連続する」
と書きました．
すごく違和感があって、生徒に聞いてみたら，違和感があった生徒は２人， 半分の生徒は違和感がないと答えました．
日本語の「する」は，有限個に対してしか有効ではないような気がしますが， いかがですか？27.よく careless miss をするなと言いますが， 本当に重要なのは，間違いを見つけて修正する力じゃないですかね．
26.アルバイトでGitを使うので，ちょっと練習をしています． ソフトのバージョン管理に使えないか考えていたのですが， HPの更新にも使えそうですね．
25.2年生が次の極限の値を求めようと黒板で議論していました． \[ \lim_{n\to\infty}\dfrac1n\cdot\dfrac{\sqrt[n]2}{\sqrt[n]2-1} \] これ，結構難しいですよ．
24.「次の式を満たす自然数解をすべて求めよ．」という問題です． \[ 2x^2+8xy-5x-y^2+y-30=0 \] 結果としては，($x,y$の一次式)($x,y$の一次式)=定数 と 因数分解して解くのですが， 「整数解を持つから因数分解できて，判別式を2回とると・・・」というのは正しくありません． 因数分解するのなら，二次の項 ＋ 一次の項 ＋ 定数項＝0としてから因数分解するのが 見易い．この形の因数分解を考える価値のある問題のような気がしました．
23.三角形ABCの頂点Aの2等分線が三角形ABCで切り取られる部分の長さは 辺の長さで簡単に表すことが出来る．
この結果を上げていなかったので， 証明が必要になったとき参照することが出来なかった．
で上げようということです．20.教師が，教え方や内容について議論しないようになったのは，問題や採点の打ち合わせでに問題がある． 特に採点が問題請負制になるとダメだ，という話をしたら，担当クラス請負制でもダメだという話があったので，少しだけ注意をします．
担当クラス請負制になった場合，公平性を担保するために，事後の調整を念入りにしますが， その際，人によって考えていない条件を付けられる場合があります．
・真数条件は先に書かなければ減点
・解の条件の前に，$D>0$を書かなければ減点
・2次関数の最大・最小を出す場合，グラフを描かなければ減点
このようなことを聞いてけんかになるから，事前の問題検討の際に，採点の様子が見え， 授業中にどう教えるべきかと話が戻ります．このサイクルが有効に働けば， 教師の力量は上にそろいます．19.今年も「資料の整理」の時期がやってきました．
毎年思うのですが，なぜ「仮平均」を使わないのだろう？18.最近の若い教師は，授業の話をしないのだろうと10年以上も思っていましたが， 最近近くにいる若い教師は，しているようです．ただ，自分たちで議論が閉じているようで， もったいない感じがしています．
17．同僚からの問題です． \[ 0\leq\theta_1<\theta_2\leq\pi, \sin2\theta_1=\sin2\theta_2=\dfrac18 \] のとき，$\sin\theta_1, \sin\dfrac{\theta_2}5$ の大小を比べよ．
という問題です． とっかかりがないように見えますが，$\theta_1+\theta_2=\pi$がうまく使えます．
14．授業で使っている問題集の問題です．
四角形ABCDの内角がすべて180°未満とします． 凸四角形ですね． △ABC,△BCD,△CDA,△DABの重心をそれぞれS,P,Q,Rとします． 四角形ABCDが円に内接すれば，4点P,Q,R,Sは円周上にあることを示せです．
ベクトルで平行を示すことは簡単ですが，条件の凸性をどこで使うのか？ 図形について，示すべきことが何か？難しいですね．13．2016年の東工大の問題2です． 「解析的でなくベクトルで解けませんか？」 と聞かれました．で図形的な性質を考えています． 結局ねじれの位置にある2直線の片方を軸として回転させ，線織面が現れますが， 回転軸上の点Dから線織面に接線を引くということかな？と思う次第です．
ここまでしかやっていませんが，このあと簡単に求まるでしょうか？12．下の11の問題を生徒と一緒に解いていたとき，説明させたら， 結論を仮定していました．結論を仮定するのは，結論を否定するためで， 背理法で使うだけ．証明するために結論を仮定したら， 証明したことにならないことが分かっていないようでした．
11. 青チャートの問題に，メネラウスを使ってデザルグを証明する問題がありました． 難しいですね．P，Q，Rになるべく関わらないように3本の式を作ってやるのに， どれを組み合わせればよいのか見つけられませんでした．
でも，本来の2平面の交線が直線PQRというのが分かり易くて良いですね．9.2017/8/26に同僚と授業のことで話していて，話題になったのが， 生徒の間違いは，思い違いの考え方に依ることが多く， メタな間違いなので，表に出てきにくい．ここに焦点を当てて， 訂正するか，正しい認識を押しつける必要があるように思いました．
これって帰納ですよね．（数学的，完全でないギリシャ時代の）． パターンマッチと同じで，そこでは正しく見えるが，一般的に成り立たないかも知れないので， 批判的に見る必要があるのですが，普通そこまでしないのが問題なんだと思います．8.（数学）教育でアクティブラーニングというものがあります． 教えないことに注目が行きすぎているのでは無いかとずっと思っていました． 私自身はマイケル・サンデルの講義がアクティブラーニングでは無いかと考えています． 高校よりも大学で使われるようになったという話は，いくら準備をした教材があるとしても， 教師の誘導が無く学問を全うできるはずがない． だから，思考の向きをその場その場で修正する役目の教師の仕事が絶対必要ですよね．
7. 複接線の求め方(2017.7.25) \[ y=x^4-4x^3-8x^2 \] の複接線を求めるとき， \[ x^4-4x^3-8x^2-mx-n=(x-a)^2(x-b)^2 \] とおいて，恒等式と考えて$m,n$を求めますが， \[ =(x^2+Ax+B)^2 \] とおいた方が簡単です．もっと簡単な方法は無いですか？
6．定点Aを通る直線と定点Bを通る直線が交わる角が直角でなくても 交点の軌跡は円になる．線分の上に立つ定角の軌跡は雪だるま？
5．教科書は一般から具体の流れで書いてあるが，理解は逆ですよね． 授業も逆の方が良いのでは？
4．置換積分はいくつか分けて書いてありますが，すべて$t=f(x)$とおいて 計算していますよね．何で同じ扱いをしないのだろう．
3．三角関数のグラフの書き方について
2．三角方程式，不等式の教え方
1．教えるより，発見させた方が良い．いつでも相談できる環境がよい．
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