$a\geqq{}0$, $b\geqq{}0$, $c\geqq{}0$, $d\geqq{}0$ のとき \[ \dfrac{a+b+c+d}{4}\geqq{}\sqrt[4]{abcd} \] が成り立つ。 【証明】 $A=\sqrt[4]{a}$, $B=\sqrt[4]{b}$, $C=\sqrt[4]{c}$, $D=\sqrt[4]{d}$ とすると $a=A^{4}$, $b=B^{4}$, $c=C^{4}$, $d=D^{4}$, $\sqrt[4]{abcd}=ABCD$ から、証明すべき式は \[ \dfrac{A^{4}+B^{4}+C^{4}+D^{4}}{4}\geqq{}ABCD \] である。 \[ \begin{align*}{}% \text{(左辺)}-\text{(右辺)}&=\dfrac{1}{4}\left(A^{2}+B^{2}+C^{4}+D^{4}-4ABCD\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\left\{{\left(A^{2}-B^{2}\right)}^{2}+2A^{2}B^{2}+{\left(C^{2}-D^{2}\right)}^{2}+2C^{2}D^{2}-4ABCD\right\}\\ &=\dfrac{1}{2}\left\{{\left(A^{2}-B^{2}\right)}^{2}+{\left(C^{2}-D^{2}\right)}^{2}+2{\left(AB-CD\right)}^{2}\right\}\\ &\geqq{}0 \end{align*} \] したがって $\text{(左辺)}\geqq{}\text{(右辺)}$ が成り立つ。 ただし等号が成立するのは \[ A^{2}=B^{2}\quad{}\text{かつ}\quad{}C^{2}=D^{2}\quad{}\text{かつ}\quad{}AB=CD \] すなわち $A=B=C=D$ のときに限る。