$a\geqq{}0$, $b\geqq{}0$, $c\geqq{}0$ のとき \[ \dfrac{a+b+c}{3}\geqq{}\sqrt[3]{abc} \] が成り立つ。 【証明】 $A=\sqrt[3]{a}$, $B=\sqrt[3]{b}$, $C=\sqrt[3]{c}$ とすると $a=A^{3}$, $b=B^{3}$, $c=C^{3}$, $\sqrt[3]{abc}=ABC$ から、証明すべき式は \[ \dfrac{A^{2}+B^{2}+C^{3}}{3}\geqq{}ABC \] である。 \[ \begin{align*}{}% \text{(左辺)}-\text{(右辺)}&=\dfrac{1}{3}\left(A^{2}+B^{2}+C^{3}-3ABC\right)\\ &=\dfrac{1}{3}(A+B+C)\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}-AB-BC-CA\right)\\ &=\dfrac{1}{6}(A+B+C)\left\{{(A-B)}^{2}+{(B-C)}^{2}+{(C-A)}^{2}\right\}\\ &\geqq{}0 \end{align*} \] したがって $\text{(左辺)}\geqq{}\text{(右辺)}$ が成り立つ。 ただし等号が成立するのは \[ A=B\quad{}\text{かつ}\quad{}B=C\quad{}\text{かつ}\quad{}C=A \] すなわち $A=B=C$ のときに限る。