角の二等分線の長さ

三角形 $\mathrm{OAB}$ の角 $\mathrm{O}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ との交点を $\mathrm{P}$ とする。このとき \[ \mathrm{OP}=\sqrt{\mathrm{OA}\times\mathrm{OB}-\mathrm{AP}\times\mathrm{BP}} \] である。
【証明】
$\mathrm{OA}=a$， $\mathrm{OB}=b$， $\angle{\mathrm{AOP}}=\angle{\mathrm{BOP}}=\theta$，$\mathrm{OP}=x$ とする。
角の二等分の性質 $\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=\mathrm{OA}:\mathrm{OB}$から，実数 $k$を用いて \[ \mathrm{AP}=ka, \mathrm{BP}=kb \] とできる。
余弦定理を用いて $\cos{\theta}$を二通りに表し \[ \dfrac{a^{2}+x^{2}-{(ka)}^{2}}{2ax}= \dfrac{b^{2}+x^{2}-{(kb)}^{2}}{2bx} \] \[ b(a^{2}+x^{2}-{(ka)}^{2})=a(b^{2}+x^{2}-{(kb)}^{2}) \] \[ (a-b)x^{2}=(a-b)ab-(a-b)k^{2}ab \]

$a-b\neq{}0$ のとき \[ x^{2}=ab-k^{2}ab=ab-ka\cdot{}kb \] すなわち \[ {\mathrm{OP}}^{2}=\mathrm{OA}\times\mathrm{OB}-\mathrm{AP}\times\mathrm{BP} \]

$a-b=0$ のとき，三角形 $\mathrm{AOB}$は二等辺三角形となり，
頂角の二等分線の性質から三角形 $\mathrm{OPA}$は直角三角形となる。
三平方の定理から \[ {\mathrm{OP}}^{2}={\mathrm{OA}}^{2}-{\mathrm{AP}}^{2}=\mathrm{OA}\times\mathrm{OB}-\mathrm{AP}\times\mathrm{BP} \] いずれの場合も \[ \mathrm{OP}=\sqrt{\mathrm{OA}\times\mathrm{OB}-\mathrm{AP}\times\mathrm{BP}} \] が成り立つ。